WENO

ENOを改良して，重み付き平均をとることで5次精度を実現したのがWENOである．

3次精度のENOではについて， の6つの内，4つの値を用いて補間を行う． そして，その組み合わせは3パターン (とと)である． 実際に展開してみと以下となる(では，k=i-1)．

1+2+4, 1+2+5, 1+3+6, 1+3+7の4パターンになるが， 以下に示すように1+2+5と1+3+6が同じなので，組み合わせは3パターンになる． それぞれさらに展開してφiの式にする．

差分をと表記すると上記3パターンは，

ENO近似は結局この3つのパターンに集約される． これらの内どれかが状況に応じて用いられる． WENO(Weighted ENO)はその名の通り，これら3つの凸結合 *1 でを近似する *2． つまり，

ここで，．

問題となるのはの選択である． 関数が滑らかならば，で5次精度が得られる *3． ただし，矩形波のように滑らかでない関数だととたんに不安定になる． *4では滑らかでない関数でも安定な重みの計算法を提案している．その方法を以下に示す．

の滑らかさ(smoothness)を以下のように定義する．

先ほどの重みの組み合わせ()をsmoothnessの2乗で割ることで重みを得る．

ここで，

はゼロ割を防ぐための項である． はが符号付距離場であることが前提で設定されている． つまり，がほぼ1であり，の場合である． 最終的にを満たすために，正規化を行う．

これらから，

によりを更新することで5次精度の結果が得られる．