TVD RK

ルンゲクッタ法などの解法は1次元，一定幅グリッドではTV安定であるが， 多次元，可変幅グリッドではどうか？という問題がある． これに対して，TVDを満たすルンゲクッタがTVD RK&note{Shu1988:C.-W. Shu and S. Osher, "Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock capturing schemes", J. Comput. Phys. 77, pp.439-471, 1988.};である(TVDについては下参照)．

移流方程式の時間微分以外の項をとして，一般的なRKは，

ここで，である． 上付のはRKのステップごとの中間値を示している．

これに対して，TVD RKは以下である．

ここで，

TVD RK2†

2次精度のTVD RKはRKにおける修正オイラー法(RK2)に対応する．

で，

?から，

?から，

ここで，通常のRKのを用い， さらに，とすると，

よって，

TVD RK2ではとについての2回の前進オイラー法の組み合わせで成り立っている． この事実を使った実装を以下に示す．

1. 前進オイラー法によりを求める．
   

1. 前進オイラー法によりからを求める．
   

1. との平均をとることで，最終的な値を得る．
   

TVD RK3†

で，

?から，

?から，

ここで，通常のRKのを用い，

とすると，

よって，

TVD RK3では3回の前進オイラー法の組み合わせ(ととについて)で成り立っている． TVD RK2と同様に，この事実を使った実装を以下に示す．

1. TVD RK2と同じく2回の前進オイラー法によりを求める．
   

1. 以下の凸結合により
   

1. から前進オイラー法でを算出する．
   

1. 最終的に，以下の凸結合によりを近似する．
   

TVD RK4†

で，

各係数の導出は長くなりそうなので省略(&note{Shu1988};参照}．

TVD,TVB†

TVD(Total-Variation Diminishing)&note{Harten1983:A. Harten, "High resolution schemes for hyperbolic conservation laws", J. Comput. Phys. 49, pp.357-393, 1983.};は非線形方程式の収束条件のひとつである． nステップ目でのTV(Total-Variation : 全変動)は以下のように定義される．

これを離散化すると，

となる．そして，

を満たすとき，TV安定であるといい，その数値計算手法はTVDと呼ばれる． また，

を満たすとき，TVB(Total-Variation Bounded)であるという． ここではのみに依存する定数である．