Lanczos法

Arnoldi法では非対称行列を扱ったが，Aが対称行列だった場合， アルゴリズムを簡素化できる． これがランチョス(Lanczos)法である．

まず，Arnoldi法でAが実対称行列だったとき， も対称行列になる． さらにはヘッセンベルグ行列であり，，ただし i > j+1 である． よって，が対称行列ならば，i < j-1 でもとなる． つまり，以下のような三重対角行列(対角成分とその左右のみに値がある行列)となる．

ここで，とした．

の代わりにを使って， Arnoldi法(修正グラム・シュミットを用いたもの)を書き換える．

今，i < j-1でが0となることから，i=j-1,jについてのみ考えればよい． i=j-1では，なので，と置き換えることができる． ただし，と置いておく． 次に，i=jでは，なので，と置き換えることができる． 最後にと置き換え，は次の反復においてとして用いられる． これらのことを適用するとアルゴリズムは以下のようになる．

任意のベクトルを設定(ただし)
を設定
for(j = 1,2,...,m){
　　
　　
　　
　　
　　if() 反復終了
　　
}

これがLanczos法である．