MPS法の理論
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*MPS法 [#g6ff33bf]
圧縮性流体を取り扱うために提案されたSPH法に対して，
粒子法で非圧縮性流体を取り扱えるように提案されたのが Movi...
MPS法では粒子数密度を導入し，この密度が一定となるように陰...
これにより，グローバルに非圧縮性を強制する．
一部分に陰解法を使っているので，Semi-implicitである．
**非圧縮性流れの支配方程式 [#ode99163]
非圧縮流れの支配方程式であるナビエ・ストークス方程式は以...
#ref(mps.eq1.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(mps.eq2.gif,nolink,70%);は流体の速度，&ref(m...
**粒子間相互作用モデル [#vbee22b2]
MPS法では勾配，発散，ラプラシアン等の微分演算子を，粒子間...
まず重み関数&ref(mps.eq6.gif,nolink,70%);を以下のように定...
#ref(mps.eq7.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(mps.eq8.gif,nolink,70%);は粒子間距離，&ref(m...
この式は粒子間距離が&ref(mps.eq9.gif,nolink,70%);より小さ...
重み関数&ref(mps.eq6.gif,nolink,70%);を用いて，非圧縮性を...
#ref(mps.eq10.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(mps.eq11.gif,nolink,70%);は粒子&ref(mps.eq12...
粒子数密度の初期値&ref(mps.eq14.gif,nolink,70%);を特に初...
非圧縮性流れにおいて液体の密度は一定である．
MPS法では各粒子の粒子数密度&ref(mps.eq15.gif,nolink,70%);...
粒子間相互作用モデルによる勾配，発散，ラプラシアンの離散...
-勾配
勾配は粒子&ref(mps.eq12.gif,nolink,70%);の位置に対して勾...
#ref(mps.eq16.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(mps.eq17.gif,nolink,70%);は次元数&ref(mps.eq...
-発散
発散はベクトルに作用しスカラーを得る演算子である．
#ref(mps.eq18.gif,nolink,70%)
-ラプラシアン
ラプラシアンは粒子&ref(mps.eq12.gif,nolink,70%);の変数量(...
近傍の粒子&ref(mps.eq13.gif,nolink,70%);に重み関数の分布...
#ref(mps.eq19.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(mps.eq20.gif,nolink,70%);は以下．
#ref(mps.eq21.gif,nolink,70%)
**MPS法による粒子位置更新 [#nb1c0cc7]
ナビエ・ストークス方程式(質量保存式と運動量保存式)を離散...
#ref(mps.eq22.gif,nolink,70%)
上付は用いる物理量のステップ数を示す．
圧力勾配項は陰的に計算するため，&ref(mps.eq23.gif,nolink,...
粘性項，重力項については陽的に計算する．
まず，粘性項と重力項を計算し，粒子の仮の速度&ref(mps.eq24...
#ref(mps.eq26.gif,nolink,70%)
#ref(mps.eq27.gif,nolink,70%)
粘性項&ref(mps.eq28.gif,nolink,70%);はラプラシアンである...
#ref(mps.eq29.gif,nolink,70%)
粒子位置&ref(mps.eq30.gif,nolink,70%);での粒子数密度を&re...
#ref(mps.eq33.gif,nolink,70%)
粘性項と同様に右辺を離散化すると，
&ref(mps.eq34.gif,nolink,70%);に関する線形システムを得る．
#ref(mps.eq35.gif,nolink,70%)
Aは対称疎行列であり，不完全コレスキー分解付共役勾配法(Inc...
#ref(mps.eq38.gif,nolink,70%)
#ref(mps.eq39.gif,nolink,70%)
**計算アルゴリズム [#f2a5a1de]
MPS法では以下の手順でシミュレーションを進める．
+流れの初期条件を設定
+仮の速度と位置を陽的に計算
+粒子数密度を計算
+圧力のポアソン方程式を解く
+圧力勾配項で速度と位置を修正
+2に戻る
終了行:
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#contents
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*MPS法 [#g6ff33bf]
圧縮性流体を取り扱うために提案されたSPH法に対して，
粒子法で非圧縮性流体を取り扱えるように提案されたのが Movi...
MPS法では粒子数密度を導入し，この密度が一定となるように陰...
これにより，グローバルに非圧縮性を強制する．
一部分に陰解法を使っているので，Semi-implicitである．
**非圧縮性流れの支配方程式 [#ode99163]
非圧縮流れの支配方程式であるナビエ・ストークス方程式は以...
#ref(mps.eq1.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(mps.eq2.gif,nolink,70%);は流体の速度，&ref(m...
**粒子間相互作用モデル [#vbee22b2]
MPS法では勾配，発散，ラプラシアン等の微分演算子を，粒子間...
まず重み関数&ref(mps.eq6.gif,nolink,70%);を以下のように定...
#ref(mps.eq7.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(mps.eq8.gif,nolink,70%);は粒子間距離，&ref(m...
この式は粒子間距離が&ref(mps.eq9.gif,nolink,70%);より小さ...
重み関数&ref(mps.eq6.gif,nolink,70%);を用いて，非圧縮性を...
#ref(mps.eq10.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(mps.eq11.gif,nolink,70%);は粒子&ref(mps.eq12...
粒子数密度の初期値&ref(mps.eq14.gif,nolink,70%);を特に初...
非圧縮性流れにおいて液体の密度は一定である．
MPS法では各粒子の粒子数密度&ref(mps.eq15.gif,nolink,70%);...
粒子間相互作用モデルによる勾配，発散，ラプラシアンの離散...
-勾配
勾配は粒子&ref(mps.eq12.gif,nolink,70%);の位置に対して勾...
#ref(mps.eq16.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(mps.eq17.gif,nolink,70%);は次元数&ref(mps.eq...
-発散
発散はベクトルに作用しスカラーを得る演算子である．
#ref(mps.eq18.gif,nolink,70%)
-ラプラシアン
ラプラシアンは粒子&ref(mps.eq12.gif,nolink,70%);の変数量(...
近傍の粒子&ref(mps.eq13.gif,nolink,70%);に重み関数の分布...
#ref(mps.eq19.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(mps.eq20.gif,nolink,70%);は以下．
#ref(mps.eq21.gif,nolink,70%)
**MPS法による粒子位置更新 [#nb1c0cc7]
ナビエ・ストークス方程式(質量保存式と運動量保存式)を離散...
#ref(mps.eq22.gif,nolink,70%)
上付は用いる物理量のステップ数を示す．
圧力勾配項は陰的に計算するため，&ref(mps.eq23.gif,nolink,...
粘性項，重力項については陽的に計算する．
まず，粘性項と重力項を計算し，粒子の仮の速度&ref(mps.eq24...
#ref(mps.eq26.gif,nolink,70%)
#ref(mps.eq27.gif,nolink,70%)
粘性項&ref(mps.eq28.gif,nolink,70%);はラプラシアンである...
#ref(mps.eq29.gif,nolink,70%)
粒子位置&ref(mps.eq30.gif,nolink,70%);での粒子数密度を&re...
#ref(mps.eq33.gif,nolink,70%)
粘性項と同様に右辺を離散化すると，
&ref(mps.eq34.gif,nolink,70%);に関する線形システムを得る．
#ref(mps.eq35.gif,nolink,70%)
Aは対称疎行列であり，不完全コレスキー分解付共役勾配法(Inc...
#ref(mps.eq38.gif,nolink,70%)
#ref(mps.eq39.gif,nolink,70%)
**計算アルゴリズム [#f2a5a1de]
MPS法では以下の手順でシミュレーションを進める．
+流れの初期条件を設定
+仮の速度と位置を陽的に計算
+粒子数密度を計算
+圧力のポアソン方程式を解く
+圧力勾配項で速度と位置を修正
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