Lanczos法
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開始行:
Arnoldi法では非対称行列を扱ったが，Aが対称行列だった場合，
アルゴリズムを簡素化できる．
これがランチョス(Lanczos)法である．
まず，Arnoldi法でAが実対称行列だったとき，
&ref(ls_lanzcos1.eq1.gif,nolink,70%);も対称行列になる．
さらに&ref(ls_lanzcos1.eq2.gif,nolink,70%);はヘッセンベル...
よって，&ref(ls_lanzcos1.eq2.gif,nolink,70%);が対称行列な...
つまり，以下のような三重対角行列(対角成分とその左右のみに...
#ref(ls_lanzcos1.eq4.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(ls_lanzcos1.eq5.gif,nolink,70%);とした．
&ref(ls_lanzcos1.eq6.gif,nolink,70%);の代わりに&ref(ls_la...
Arnoldi法(修正グラム・シュミットを用いたもの)を書き換える．
今，i < j-1で&ref(ls_lanzcos1.eq6.gif,nolink,70%);が0とな...
i=j-1では，&ref(ls_lanzcos1.eq8.gif,nolink,70%);なので，&...
ただし，&ref(ls_lanzcos1.eq10.gif,nolink,70%);と置いてお...
次に，i=jでは，&ref(ls_lanzcos1.eq11.gif,nolink,70%);なの...
最後に&ref(ls_lanzcos1.eq13.gif,nolink,70%);と置き換え，&...
これらのことを適用するとアルゴリズムは以下のようになる．
>
任意のベクトル&ref(ls_lanzcos1.eq16.gif,nolink,70%);を設...
&ref(ls_lanzcos1.eq18.gif,nolink,70%);を設定~
for(j = 1,2,...,m){~
&ref(ls_lanzcos1.eq9.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_lanzcos1.eq19.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_lanzcos1.eq12.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_lanzcos1.eq20.gif,nolink,70%);~
if(&ref(ls_lanzcos1.eq21.gif,nolink,70%);) 反復終了~
&ref(ls_lanzcos1.eq22.gif,nolink,70%);~
}
これがLanczos法である．
終了行:
Arnoldi法では非対称行列を扱ったが，Aが対称行列だった場合，
アルゴリズムを簡素化できる．
これがランチョス(Lanczos)法である．
まず，Arnoldi法でAが実対称行列だったとき，
&ref(ls_lanzcos1.eq1.gif,nolink,70%);も対称行列になる．
さらに&ref(ls_lanzcos1.eq2.gif,nolink,70%);はヘッセンベル...
よって，&ref(ls_lanzcos1.eq2.gif,nolink,70%);が対称行列な...
つまり，以下のような三重対角行列(対角成分とその左右のみに...
#ref(ls_lanzcos1.eq4.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(ls_lanzcos1.eq5.gif,nolink,70%);とした．
&ref(ls_lanzcos1.eq6.gif,nolink,70%);の代わりに&ref(ls_la...
Arnoldi法(修正グラム・シュミットを用いたもの)を書き換える．
今，i < j-1で&ref(ls_lanzcos1.eq6.gif,nolink,70%);が0とな...
i=j-1では，&ref(ls_lanzcos1.eq8.gif,nolink,70%);なので，&...
ただし，&ref(ls_lanzcos1.eq10.gif,nolink,70%);と置いてお...
次に，i=jでは，&ref(ls_lanzcos1.eq11.gif,nolink,70%);なの...
最後に&ref(ls_lanzcos1.eq13.gif,nolink,70%);と置き換え，&...
これらのことを適用するとアルゴリズムは以下のようになる．
>
任意のベクトル&ref(ls_lanzcos1.eq16.gif,nolink,70%);を設...
&ref(ls_lanzcos1.eq18.gif,nolink,70%);を設定~
for(j = 1,2,...,m){~
&ref(ls_lanzcos1.eq9.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_lanzcos1.eq19.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_lanzcos1.eq12.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_lanzcos1.eq20.gif,nolink,70%);~
if(&ref(ls_lanzcos1.eq21.gif,nolink,70%);) 反復終了~
&ref(ls_lanzcos1.eq22.gif,nolink,70%);~
}
これがLanczos法である．
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