FOM
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開始行:
Projection法で&ref(ls_arnoldi3_fom.eq1.gif,nolink,70%);と...
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq2.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(ls_arnoldi3_fom.eq3.gif,nolink,70%);である．
この条件を用いる方法としてFOMについて説明する．
近似解&ref(ls_arnoldi3_fom.eq4.gif,nolink,70%);を部分空間...
探索するときの条件は&ref(ls_arnoldi3_fom.eq6.gif,nolink,7...
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq7.gif,nolink,70%)
いま，&ref(ls_arnoldi3_fom.eq8.gif,nolink,70%);とし，[[Ar...
並べた行列&ref(ls_arnoldi3_fom.eq9.gif,nolink,70%);により，
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq10.gif,nolink,70%)
とすると，&ref(ls_arnoldi3_fom.eq4.gif,nolink,70%);は以下...
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq11.gif,nolink,70%)
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq4.gif,nolink,70%);のときの残差は，
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq12.gif,nolink,70%)
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq4.gif,nolink,70%);が解ならばこの式...
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq13.gif,nolink,70%)
両辺に&ref(ls_arnoldi3_fom.eq14.gif,nolink,70%);を掛ける．
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq15.gif,nolink,70%)
Arnoldi法より実行列の場合，&ref(ls_arnoldi3_fom.eq16.gif,...
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq17.gif,nolink,70%)
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq18.gif,nolink,70%);をこの式から計...
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq20.gif,nolink,70%);とし，上式をさ...
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq21.gif,nolink,70%)
まとめると，
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq22.gif,nolink,70%)
この式に基づき近似解を求める方法がFOM(Full Orthogonalizat...
**FOMの手順 [#n4d69e45]
FOMで&ref(ls_arnoldi3_fom.eq23.gif,nolink,70%);の近似解を...
>
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq24.gif,nolink,70%);を計算~
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq25.gif,nolink,70%);の行列&ref(ls_a...
for(j = 1,2,...,m){~
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq27.gif,nolink,70%);~
for(i = 1,2,...,j)\{~
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq28.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq29.gif,nolink,70%);~
}~
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq30.gif,nolink,70%);~
if(&ref(ls_arnoldi3_fom.eq31.gif,nolink,70%);) m=jと...
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq32.gif,nolink,70%);~
}~
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq33.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq19.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq34.gif,nolink,70%);のループの中は...
ここでは&ref(ls_arnoldi3_fom.eq35.gif,nolink,70%);が0かど...
実際には近似解に対する残差&ref(ls_arnoldi3_fom.eq36.gif,n...
かつなるべく残差を計算するのにコストは掛けたくない．
そのため，以下の式を用いる．
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq37.gif,nolink,70%)
この式の導出を以下に示す．
まず，残差ベクトルは，
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq38.gif,nolink,70%)
と表される．いま，&ref(ls_arnoldi3_fom.eq39.gif,nolink,70...
また，Arnoldi法より，&ref(ls_arnoldi3_fom.eq40.gif,nolink...
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq41.gif,nolink,70%)
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq42.gif,nolink,70%);より，
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq43.gif,nolink,70%)
よって，残差の大きさは以下となる．
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq44.gif,nolink,70%)
この式を使って残差を求め，それを反復終了条件とすればよい．
**FOMの拡張 [#h25c542f]
FOMの計算コストは&ref(ls_arnoldi3_fom.eq45.gif,nolink,70%...
ここでは，FOMの拡張であるFOM(m)，IOM，について簡単に紹介...
***FOM(m) [#hdc81b0d]
FOMの拡張の一つでRestarted FOMである．FOM(m)のアルゴリズ...
++m=1と設定
++&ref(ls_arnoldi3_fom.eq46.gif,nolink,70%);からFOMで&ref...
++&ref(ls_arnoldi3_fom.eq47.gif,nolink,70%);として，2に戻...
mが設定した上限値に達するか，残差が十分小さくなるまで，2,...
***IOM [#n2daeaff]
グラム・シュミット法において，&ref(ls_arnoldi3_fom.eq48.g...
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq49.gif,nolink,70%)
と変更する．これをincomplete orthogonalizationといい，こ...
IOM(Incomplete Orthogonalization Method)という．
***DIOM [#v0836e6b]
#include(DIOM,title)
終了行:
Projection法で&ref(ls_arnoldi3_fom.eq1.gif,nolink,70%);と...
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq2.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(ls_arnoldi3_fom.eq3.gif,nolink,70%);である．
この条件を用いる方法としてFOMについて説明する．
近似解&ref(ls_arnoldi3_fom.eq4.gif,nolink,70%);を部分空間...
探索するときの条件は&ref(ls_arnoldi3_fom.eq6.gif,nolink,7...
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq7.gif,nolink,70%)
いま，&ref(ls_arnoldi3_fom.eq8.gif,nolink,70%);とし，[[Ar...
並べた行列&ref(ls_arnoldi3_fom.eq9.gif,nolink,70%);により，
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq10.gif,nolink,70%)
とすると，&ref(ls_arnoldi3_fom.eq4.gif,nolink,70%);は以下...
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq11.gif,nolink,70%)
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq4.gif,nolink,70%);のときの残差は，
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq12.gif,nolink,70%)
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq4.gif,nolink,70%);が解ならばこの式...
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq13.gif,nolink,70%)
両辺に&ref(ls_arnoldi3_fom.eq14.gif,nolink,70%);を掛ける．
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq15.gif,nolink,70%)
Arnoldi法より実行列の場合，&ref(ls_arnoldi3_fom.eq16.gif,...
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq17.gif,nolink,70%)
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq18.gif,nolink,70%);をこの式から計...
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq20.gif,nolink,70%);とし，上式をさ...
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq21.gif,nolink,70%)
まとめると，
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq22.gif,nolink,70%)
この式に基づき近似解を求める方法がFOM(Full Orthogonalizat...
**FOMの手順 [#n4d69e45]
FOMで&ref(ls_arnoldi3_fom.eq23.gif,nolink,70%);の近似解を...
>
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq24.gif,nolink,70%);を計算~
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq25.gif,nolink,70%);の行列&ref(ls_a...
for(j = 1,2,...,m){~
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq27.gif,nolink,70%);~
for(i = 1,2,...,j)\{~
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq28.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq29.gif,nolink,70%);~
}~
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq30.gif,nolink,70%);~
if(&ref(ls_arnoldi3_fom.eq31.gif,nolink,70%);) m=jと...
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq32.gif,nolink,70%);~
}~
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq33.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq19.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq34.gif,nolink,70%);のループの中は...
ここでは&ref(ls_arnoldi3_fom.eq35.gif,nolink,70%);が0かど...
実際には近似解に対する残差&ref(ls_arnoldi3_fom.eq36.gif,n...
かつなるべく残差を計算するのにコストは掛けたくない．
そのため，以下の式を用いる．
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq37.gif,nolink,70%)
この式の導出を以下に示す．
まず，残差ベクトルは，
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq38.gif,nolink,70%)
と表される．いま，&ref(ls_arnoldi3_fom.eq39.gif,nolink,70...
また，Arnoldi法より，&ref(ls_arnoldi3_fom.eq40.gif,nolink...
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq41.gif,nolink,70%)
&ref(ls_arnoldi3_fom.eq42.gif,nolink,70%);より，
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq43.gif,nolink,70%)
よって，残差の大きさは以下となる．
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq44.gif,nolink,70%)
この式を使って残差を求め，それを反復終了条件とすればよい．
**FOMの拡張 [#h25c542f]
FOMの計算コストは&ref(ls_arnoldi3_fom.eq45.gif,nolink,70%...
ここでは，FOMの拡張であるFOM(m)，IOM，について簡単に紹介...
***FOM(m) [#hdc81b0d]
FOMの拡張の一つでRestarted FOMである．FOM(m)のアルゴリズ...
++m=1と設定
++&ref(ls_arnoldi3_fom.eq46.gif,nolink,70%);からFOMで&ref...
++&ref(ls_arnoldi3_fom.eq47.gif,nolink,70%);として，2に戻...
mが設定した上限値に達するか，残差が十分小さくなるまで，2,...
***IOM [#n2daeaff]
グラム・シュミット法において，&ref(ls_arnoldi3_fom.eq48.g...
#ref(ls_arnoldi3_fom.eq49.gif,nolink,70%)
と変更する．これをincomplete orthogonalizationといい，こ...
IOM(Incomplete Orthogonalization Method)という．
***DIOM [#v0836e6b]
#include(DIOM,title)
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