Arnoldi法
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開始行:
アーノルディ法(Arnoldi's Method)は非対称行列のKrylov部分...
ちなみに対称行列に限定したLanczos法もある．
Arnoldi法のアルゴリズムを以下に示す．
>
任意のベクトル&ref(ls_arnoldi.eq1.gif,nolink,70%);を設定(...
for(&ref(ls_arnoldi.eq3.gif,nolink,70%);){~
&ref(ls_arnoldi.eq4.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_arnoldi.eq5.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_arnoldi.eq6.gif,nolink,70%);~
もし，&ref(ls_arnoldi.eq7.gif,nolink,70%);なら反復終了~
&ref(ls_arnoldi.eq8.gif,nolink,70%);~
}~
ここでAは対象となる非対称行列である．
wの計算手順をまとめて書くと，
#ref(ls_arnoldi.eq9.gif,nolink,70%)
となり，&ref(ls_arnoldi.eq10.gif,nolink,70%);なので，
&ref(ls_arnoldi.eq11.gif,nolink,70%);は[[グラム・シュミッ...
直交するベクトルを求めていることになる．
そのため，
Arnoldi法でj=mまで計算された場合，
&ref(ls_arnoldi.eq14.gif,nolink,70%);はKrylov部分空間の正...
#ref(ls_arnoldi.eq15.gif,nolink,70%)
を構成する．
さて，アルゴリズムより，
#ref(ls_arnoldi.eq16.gif,nolink,70%)
であり，これを変形すると，
#ref(ls_arnoldi.eq17.gif,nolink,70%)
ここで&ref(ls_arnoldi.eq18.gif,nolink,70%);である．
この式がどのような形になっているのかを確かめるために，
m=3の場合で，&ref(ls_arnoldi.eq19.gif,nolink,70%);を列と...
#ref(ls_arnoldi.eq20.gif,nolink,70%)
上記の式はこのように書ける．これをm次元に一般化する．
&ref(ls_arnoldi.eq21.gif,nolink,70%);の行列&ref(ls_arnold...
#ref(ls_arnoldi.eq23.gif,nolink,70%)
&ref(ls_arnoldi.eq24.gif,nolink,70%);は基本ベクトルである．
&ref(ls_arnoldi.eq25.gif,nolink,70%);はヘッセンベルグ標準...
行列AをKrylov部分空間に射影した行列となっている．
&ref(ls_arnoldi.eq26.gif,nolink,70%);は直交行列なので，こ...
#ref(ls_arnoldi.eq28.gif,nolink,70%)
となる．
ちなみに，Aと&ref(ls_arnoldi.eq25.gif,nolink,70%);の固有...
この方法は固有値計算にも用いられる．
**修正グラム・シュミット法を用いたArnoldi法 [#a76b0fa1]
修正グラムシュミット法([[グラム・シュミットの直交化法]]参...
>
任意のベクトル&ref(ls_arnoldi.eq1.gif,nolink,70%);を設定(...
for(j = 1,2,...,m){~
&ref(ls_arnoldi.eq29.gif,nolink,70%);~
for(i = 1,2,...,j){~
&ref(ls_arnoldi.eq30.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_arnoldi.eq31.gif,nolink,70%);~
}~
&ref(ls_arnoldi.eq32.gif,nolink,70%);~
if(&ref(ls_arnoldi.eq33.gif,nolink,70%);) 反復終了~
&ref(ls_arnoldi.eq8.gif,nolink,70%);~
}
丸め誤差がなければ通常のArnoldi法と結果は同じとなる．
終了行:
アーノルディ法(Arnoldi's Method)は非対称行列のKrylov部分...
ちなみに対称行列に限定したLanczos法もある．
Arnoldi法のアルゴリズムを以下に示す．
>
任意のベクトル&ref(ls_arnoldi.eq1.gif,nolink,70%);を設定(...
for(&ref(ls_arnoldi.eq3.gif,nolink,70%);){~
&ref(ls_arnoldi.eq4.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_arnoldi.eq5.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_arnoldi.eq6.gif,nolink,70%);~
もし，&ref(ls_arnoldi.eq7.gif,nolink,70%);なら反復終了~
&ref(ls_arnoldi.eq8.gif,nolink,70%);~
}~
ここでAは対象となる非対称行列である．
wの計算手順をまとめて書くと，
#ref(ls_arnoldi.eq9.gif,nolink,70%)
となり，&ref(ls_arnoldi.eq10.gif,nolink,70%);なので，
&ref(ls_arnoldi.eq11.gif,nolink,70%);は[[グラム・シュミッ...
直交するベクトルを求めていることになる．
そのため，
Arnoldi法でj=mまで計算された場合，
&ref(ls_arnoldi.eq14.gif,nolink,70%);はKrylov部分空間の正...
#ref(ls_arnoldi.eq15.gif,nolink,70%)
を構成する．
さて，アルゴリズムより，
#ref(ls_arnoldi.eq16.gif,nolink,70%)
であり，これを変形すると，
#ref(ls_arnoldi.eq17.gif,nolink,70%)
ここで&ref(ls_arnoldi.eq18.gif,nolink,70%);である．
この式がどのような形になっているのかを確かめるために，
m=3の場合で，&ref(ls_arnoldi.eq19.gif,nolink,70%);を列と...
#ref(ls_arnoldi.eq20.gif,nolink,70%)
上記の式はこのように書ける．これをm次元に一般化する．
&ref(ls_arnoldi.eq21.gif,nolink,70%);の行列&ref(ls_arnold...
#ref(ls_arnoldi.eq23.gif,nolink,70%)
&ref(ls_arnoldi.eq24.gif,nolink,70%);は基本ベクトルである．
&ref(ls_arnoldi.eq25.gif,nolink,70%);はヘッセンベルグ標準...
行列AをKrylov部分空間に射影した行列となっている．
&ref(ls_arnoldi.eq26.gif,nolink,70%);は直交行列なので，こ...
#ref(ls_arnoldi.eq28.gif,nolink,70%)
となる．
ちなみに，Aと&ref(ls_arnoldi.eq25.gif,nolink,70%);の固有...
この方法は固有値計算にも用いられる．
**修正グラム・シュミット法を用いたArnoldi法 [#a76b0fa1]
修正グラムシュミット法([[グラム・シュミットの直交化法]]参...
>
任意のベクトル&ref(ls_arnoldi.eq1.gif,nolink,70%);を設定(...
for(j = 1,2,...,m){~
&ref(ls_arnoldi.eq29.gif,nolink,70%);~
for(i = 1,2,...,j){~
&ref(ls_arnoldi.eq30.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_arnoldi.eq31.gif,nolink,70%);~
}~
&ref(ls_arnoldi.eq32.gif,nolink,70%);~
if(&ref(ls_arnoldi.eq33.gif,nolink,70%);) 反復終了~
&ref(ls_arnoldi.eq8.gif,nolink,70%);~
}
丸め誤差がなければ通常のArnoldi法と結果は同じとなる．
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