条件数
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開始行:
ここでは前処理付き共役勾配法について説明する前に，
共役勾配法の収束性と係数行列の条件数について述べる．
共役勾配法は正定値対称行列にのみ適用できる．
なぜ対称行列出なければならないのかというのは方程式&ref(ls...
方程式
#ref(ls_cond.eq2.gif,nolink,70%)
は2次式であり，個々の式は&ref(ls_cond.eq3.gif,nolink,70%)...
この2次式が最小値を持つ条件を考える．
まず，2次式&ref(ls_cond.eq3.gif,nolink,70%);を，
#ref(ls_cond.eq4.gif,nolink,70%)
と変形する(要は解の公式を導出する過程の式)．
このとき&ref(ls_cond.eq5.gif,nolink,70%);にかかる係数&ref...
逆に&ref(ls_cond.eq8.gif,nolink,70%);だと2次式は最大値を...
大事なのは係数&ref(ls_cond.eq6.gif,nolink,70%);の符号であ...
一方，&ref(ls_cond.eq10.gif,nolink,70%);の場合はどうだろ...
まず，Aが正定値であるということは，&ref(ls_cond.eq11.gif,...
#ref(ls_cond.eq13.gif,nolink,70%)
であるということである．ここで，&ref(ls_cond.eq14.gif,nol...
行列が正定値であること = その行列の固有値がすべて正
であるので，行列の固有値がすべて正ならば最小値を持つこと...
n元連立1次方程式&ref(ls_cond.eq15.gif,nolink,70%);の係数...
モード行列をR，固有値を対角成分にした対角行列をDとする．
モード行列とは行列の固有ベクトルを並べた行列で，&ref(ls_c...
係数行列は&ref(ls_cond.eq17.gif,nolink,70%);で表されるの...
#ref(ls_cond.eq18.gif,nolink,70%)
となる．ここで，&ref(ls_cond.eq19.gif,nolink,70%);とおく...
#ref(ls_cond.eq20.gif,nolink,70%)
よって，
#ref(ls_cond.eq21.gif,nolink,70%)
である．方程式&ref(ls_cond.eq22.gif,nolink,70%);を&ref(ls...
#ref(ls_cond.eq24.gif,nolink,70%)
ここで，
#ref(ls_cond.eq25.gif,nolink,70%)
と変形できるので，
#ref(ls_cond.eq26.gif,nolink,70%)
となる．さらに，&ref(ls_cond.eq27.gif,nolink,70%);とおく...
#ref(ls_cond.eq28.gif,nolink,70%)
Dは対角行列なので&ref(ls_cond.eq29.gif,nolink,70%);である...
#ref(ls_cond.eq30.gif,nolink,70%)
右辺第1項は2次形式である．そして，Dは対角行列で，その対角...
上で示したように，2次式が最小値を持つ条件は&ref(ls_cond.e...
すべての固有値が正ならば&ref(ls_cond.eq1.gif,nolink,70%);...
つまり，言い換えるとAが正定値ならば&ref(ls_cond.eq1.gif,n...
これでAが正定値でなければならないことは証明できた．
次に，&ref(ls_cond.eq32.gif,nolink,70%);に関する式が実際...
2次元(&ref(ls_cond.eq33.gif,nolink,70%);)のとき，
#ref(ls_cond.eq34.gif,nolink,70%)
の形になる．この式は&ref(ls_cond.eq35.gif,nolink,70%);を...
固有値(&ref(ls_cond.eq37.gif,nolink,70%);)の比は，軸の長...
つまり，固有値の最大値と最小値の差が大きいと平べったい楕...
ここで，行列Aの条件数(condition number)というものを考える．
条件数は，
#ref(ls_cond.eq39.gif,nolink,70%)
と書け，2つのノルムの積となる．
正定値実対称行列の場合，最大固有値を最小固有値で割った比...
条件数の最小値は1であり，条件数が1に近いほど誤差が小さく...
連立1次方程式の精度や収束性を評価する上でとても重要な指標...
終了行:
ここでは前処理付き共役勾配法について説明する前に，
共役勾配法の収束性と係数行列の条件数について述べる．
共役勾配法は正定値対称行列にのみ適用できる．
なぜ対称行列出なければならないのかというのは方程式&ref(ls...
方程式
#ref(ls_cond.eq2.gif,nolink,70%)
は2次式であり，個々の式は&ref(ls_cond.eq3.gif,nolink,70%)...
この2次式が最小値を持つ条件を考える．
まず，2次式&ref(ls_cond.eq3.gif,nolink,70%);を，
#ref(ls_cond.eq4.gif,nolink,70%)
と変形する(要は解の公式を導出する過程の式)．
このとき&ref(ls_cond.eq5.gif,nolink,70%);にかかる係数&ref...
逆に&ref(ls_cond.eq8.gif,nolink,70%);だと2次式は最大値を...
大事なのは係数&ref(ls_cond.eq6.gif,nolink,70%);の符号であ...
一方，&ref(ls_cond.eq10.gif,nolink,70%);の場合はどうだろ...
まず，Aが正定値であるということは，&ref(ls_cond.eq11.gif,...
#ref(ls_cond.eq13.gif,nolink,70%)
であるということである．ここで，&ref(ls_cond.eq14.gif,nol...
行列が正定値であること = その行列の固有値がすべて正
であるので，行列の固有値がすべて正ならば最小値を持つこと...
n元連立1次方程式&ref(ls_cond.eq15.gif,nolink,70%);の係数...
モード行列をR，固有値を対角成分にした対角行列をDとする．
モード行列とは行列の固有ベクトルを並べた行列で，&ref(ls_c...
係数行列は&ref(ls_cond.eq17.gif,nolink,70%);で表されるの...
#ref(ls_cond.eq18.gif,nolink,70%)
となる．ここで，&ref(ls_cond.eq19.gif,nolink,70%);とおく...
#ref(ls_cond.eq20.gif,nolink,70%)
よって，
#ref(ls_cond.eq21.gif,nolink,70%)
である．方程式&ref(ls_cond.eq22.gif,nolink,70%);を&ref(ls...
#ref(ls_cond.eq24.gif,nolink,70%)
ここで，
#ref(ls_cond.eq25.gif,nolink,70%)
と変形できるので，
#ref(ls_cond.eq26.gif,nolink,70%)
となる．さらに，&ref(ls_cond.eq27.gif,nolink,70%);とおく...
#ref(ls_cond.eq28.gif,nolink,70%)
Dは対角行列なので&ref(ls_cond.eq29.gif,nolink,70%);である...
#ref(ls_cond.eq30.gif,nolink,70%)
右辺第1項は2次形式である．そして，Dは対角行列で，その対角...
上で示したように，2次式が最小値を持つ条件は&ref(ls_cond.e...
すべての固有値が正ならば&ref(ls_cond.eq1.gif,nolink,70%);...
つまり，言い換えるとAが正定値ならば&ref(ls_cond.eq1.gif,n...
これでAが正定値でなければならないことは証明できた．
次に，&ref(ls_cond.eq32.gif,nolink,70%);に関する式が実際...
2次元(&ref(ls_cond.eq33.gif,nolink,70%);)のとき，
#ref(ls_cond.eq34.gif,nolink,70%)
の形になる．この式は&ref(ls_cond.eq35.gif,nolink,70%);を...
固有値(&ref(ls_cond.eq37.gif,nolink,70%);)の比は，軸の長...
つまり，固有値の最大値と最小値の差が大きいと平べったい楕...
ここで，行列Aの条件数(condition number)というものを考える．
条件数は，
#ref(ls_cond.eq39.gif,nolink,70%)
と書け，2つのノルムの積となる．
正定値実対称行列の場合，最大固有値を最小固有値で割った比...
条件数の最小値は1であり，条件数が1に近いほど誤差が小さく...
連立1次方程式の精度や収束性を評価する上でとても重要な指標...
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