Lanczos法の変更点

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Arnoldi法では非対称行列を扱ったが，Aが対称行列だった場合，
アルゴリズムを簡素化できる．
これがランチョス(Lanczos)法である．

まず，Arnoldi法でAが実対称行列だったとき，
&ref(ls_lanzcos1.eq1.gif,nolink,70%);も対称行列になる．
さらに&ref(ls_lanzcos1.eq2.gif,nolink,70%);はヘッセンベルグ行列であり，&ref(ls_lanzcos1.eq3.gif,nolink,70%);，ただし i > j+1 である．
よって，&ref(ls_lanzcos1.eq2.gif,nolink,70%);が対称行列ならば，i < j-1 でも&ref(ls_lanzcos1.eq3.gif,nolink,70%);となる．
つまり，以下のような三重対角行列(対角成分とその左右のみに値がある行列)となる．
#ref(ls_lanzcos1.eq4.gif,nolink,70%)

ここで，&ref(ls_lanzcos1.eq5.gif,nolink,70%);とした．

&ref(ls_lanzcos1.eq6.gif,nolink,70%);の代わりに&ref(ls_lanzcos1.eq7.gif,nolink,70%);を使って，
Arnoldi法(修正グラム・シュミットを用いたもの)を書き換える．

今，i < j-1で&ref(ls_lanzcos1.eq6.gif,nolink,70%);が0となることから，i=j-1,jについてのみ考えればよい．
i=j-1では，&ref(ls_lanzcos1.eq8.gif,nolink,70%);なので，&ref(ls_lanzcos1.eq9.gif,nolink,70%);と置き換えることができる．
ただし，&ref(ls_lanzcos1.eq10.gif,nolink,70%);と置いておく．
次に，i=jでは，&ref(ls_lanzcos1.eq11.gif,nolink,70%);なので，&ref(ls_lanzcos1.eq12.gif,nolink,70%);と置き換えることができる．
最後に&ref(ls_lanzcos1.eq13.gif,nolink,70%);と置き換え，&ref(ls_lanzcos1.eq14.gif,nolink,70%);は次の反復において&ref(ls_lanzcos1.eq15.gif,nolink,70%);として用いられる．
これらのことを適用するとアルゴリズムは以下のようになる．


>
任意のベクトル&ref(ls_lanzcos1.eq16.gif,nolink,70%);を設定(ただし&ref(ls_lanzcos1.eq17.gif,nolink,70%);)~
&ref(ls_lanzcos1.eq18.gif,nolink,70%);を設定~
for(j = 1,2,...,m){~
　　&ref(ls_lanzcos1.eq9.gif,nolink,70%);~
　　&ref(ls_lanzcos1.eq19.gif,nolink,70%);
　　&ref(ls_lanzcos1.eq12.gif,nolink,70%);
　　&ref(ls_lanzcos1.eq19.gif,nolink,70%);~
　　&ref(ls_lanzcos1.eq12.gif,nolink,70%);~
　　&ref(ls_lanzcos1.eq20.gif,nolink,70%);~
　　if(&ref(ls_lanzcos1.eq21.gif,nolink,70%);) 反復終了~
　　&ref(ls_lanzcos1.eq22.gif,nolink,70%);~
}


これがLanczos法である．
Lanczos法 の変更点
