TVD RK
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開始行:
ルンゲクッタ法などの解法は1次元，一定幅グリッドではTV安定...
多次元，可変幅グリッドではどうか？という問題がある．
これに対して，TVDを満たすルンゲクッタがTVD RK¬e{Shu198...
移流方程式の時間微分以外の項を&ref(tvdrk.eq1.gif,nolink,7...
#ref(tvdrk.eq2.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(tvdrk.eq3.gif,nolink,70%);である．
上付の&ref(tvdrk.eq4.gif,nolink,70%);はRKのステップごとの...
これに対して，TVD RKは以下である．
#ref(tvdrk.eq5.gif,nolink,70%)
ここで，
#ref(tvdrk.eq6.gif,nolink,70%)
***TVD RK2 [#xc624a05]
2次精度のTVD RKはRKにおける修正オイラー法(RK2)に対応する．
&ref(tvdrk.eq7.gif,nolink,70%);で，
#ref(tvdrk.eq8.gif,nolink,70%)
?から，
#ref(tvdrk.eq9.gif,nolink,70%)
?から，
#ref(tvdrk.eq10.gif,nolink,70%)
ここで，通常のRKの&ref(tvdrk.eq11.gif,nolink,70%);を用い，
さらに，&ref(tvdrk.eq12.gif,nolink,70%);とすると，
#ref(tvdrk.eq13.gif,nolink,70%)
よって，
#ref(tvdrk.eq14.gif,nolink,70%)
TVD RK2では&ref(tvdrk.eq15.gif,nolink,70%);と&ref(tvdrk.e...
この事実を使った実装を以下に示す．
+前進オイラー法により&ref(tvdrk.eq16.gif,nolink,70%);を求...
#ref(tvdrk.eq17.gif,nolink,70%)
+前進オイラー法により&ref(tvdrk.eq16.gif,nolink,70%);から...
#ref(tvdrk.eq19.gif,nolink,70%)
+&ref(tvdrk.eq20.gif,nolink,70%);と&ref(tvdrk.eq18.gif,no...
#ref(tvdrk.eq21.gif,nolink,70%)
***TVD RK3 [#y0ff4cfd]
&ref(tvdrk.eq22.gif,nolink,70%);で，
#ref(tvdrk.eq23.gif,nolink,70%)
?から，
#ref(tvdrk.eq24.gif,nolink,70%)
?から，
#ref(tvdrk.eq25.gif,nolink,70%)
ここで，通常のRKの&ref(tvdrk.eq26.gif,nolink,70%);を用い，
#ref(tvdrk.eq27.gif,nolink,70%)
&ref(tvdrk.eq28.gif,nolink,70%);とすると，
#ref(tvdrk.eq29.gif,nolink,70%)
よって，
#ref(tvdrk.eq30.gif,nolink,70%)
TVD RK3では3回の前進オイラー法の組み合わせ(&ref(tvdrk.eq1...
TVD RK2と同様に，この事実を使った実装を以下に示す．
+TVD RK2と同じく2回の前進オイラー法により&ref(tvdrk.eq32....
#ref(tvdrk.eq33.gif,nolink,70%)
+以下の凸結合により&ref(tvdrk.eq31.gif,nolink,70%);
#ref(tvdrk.eq34.gif,nolink,70%)
+&ref(tvdrk.eq31.gif,nolink,70%);から前進オイラー法で&ref...
#ref(tvdrk.eq36.gif,nolink,70%)
+最終的に，以下の凸結合により&ref(tvdrk.eq37.gif,nolink,7...
#ref(tvdrk.eq38.gif,nolink,70%)
***TVD RK4 [#f225c799]
&ref(tvdrk.eq39.gif,nolink,70%);で，
#ref(tvdrk.eq40.gif,nolink,70%)
各係数の導出は長くなりそうなので省略(¬e{Shu1988};参照}．
#ref(tvdrk.eq41.gif,nolink,70%)
***TVD,TVB [#b9389917]
TVD(Total-Variation Diminishing)¬e{Harten1983:A. Harte...
nステップ目でのTV(Total-Variation : 全変動)は以下のように...
#ref(tvdrk.eq42.gif,nolink,70%)
これを離散化すると，
#ref(tvdrk.eq43.gif,nolink,70%)
となる．そして，
#ref(tvdrk.eq44.gif,nolink,70%)
を満たすとき，TV安定であるといい，その数値計算手法はTVDと...
また，
#ref(tvdrk.eq45.gif,nolink,70%)
を満たすとき，TVB(Total-Variation Bounded)であるという．
ここで&ref(tvdrk.eq46.gif,nolink,70%);は&ref(tvdrk.eq47.g...
終了行:
ルンゲクッタ法などの解法は1次元，一定幅グリッドではTV安定...
多次元，可変幅グリッドではどうか？という問題がある．
これに対して，TVDを満たすルンゲクッタがTVD RK¬e{Shu198...
移流方程式の時間微分以外の項を&ref(tvdrk.eq1.gif,nolink,7...
#ref(tvdrk.eq2.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(tvdrk.eq3.gif,nolink,70%);である．
上付の&ref(tvdrk.eq4.gif,nolink,70%);はRKのステップごとの...
これに対して，TVD RKは以下である．
#ref(tvdrk.eq5.gif,nolink,70%)
ここで，
#ref(tvdrk.eq6.gif,nolink,70%)
***TVD RK2 [#xc624a05]
2次精度のTVD RKはRKにおける修正オイラー法(RK2)に対応する．
&ref(tvdrk.eq7.gif,nolink,70%);で，
#ref(tvdrk.eq8.gif,nolink,70%)
?から，
#ref(tvdrk.eq9.gif,nolink,70%)
?から，
#ref(tvdrk.eq10.gif,nolink,70%)
ここで，通常のRKの&ref(tvdrk.eq11.gif,nolink,70%);を用い，
さらに，&ref(tvdrk.eq12.gif,nolink,70%);とすると，
#ref(tvdrk.eq13.gif,nolink,70%)
よって，
#ref(tvdrk.eq14.gif,nolink,70%)
TVD RK2では&ref(tvdrk.eq15.gif,nolink,70%);と&ref(tvdrk.e...
この事実を使った実装を以下に示す．
+前進オイラー法により&ref(tvdrk.eq16.gif,nolink,70%);を求...
#ref(tvdrk.eq17.gif,nolink,70%)
+前進オイラー法により&ref(tvdrk.eq16.gif,nolink,70%);から...
#ref(tvdrk.eq19.gif,nolink,70%)
+&ref(tvdrk.eq20.gif,nolink,70%);と&ref(tvdrk.eq18.gif,no...
#ref(tvdrk.eq21.gif,nolink,70%)
***TVD RK3 [#y0ff4cfd]
&ref(tvdrk.eq22.gif,nolink,70%);で，
#ref(tvdrk.eq23.gif,nolink,70%)
?から，
#ref(tvdrk.eq24.gif,nolink,70%)
?から，
#ref(tvdrk.eq25.gif,nolink,70%)
ここで，通常のRKの&ref(tvdrk.eq26.gif,nolink,70%);を用い，
#ref(tvdrk.eq27.gif,nolink,70%)
&ref(tvdrk.eq28.gif,nolink,70%);とすると，
#ref(tvdrk.eq29.gif,nolink,70%)
よって，
#ref(tvdrk.eq30.gif,nolink,70%)
TVD RK3では3回の前進オイラー法の組み合わせ(&ref(tvdrk.eq1...
TVD RK2と同様に，この事実を使った実装を以下に示す．
+TVD RK2と同じく2回の前進オイラー法により&ref(tvdrk.eq32....
#ref(tvdrk.eq33.gif,nolink,70%)
+以下の凸結合により&ref(tvdrk.eq31.gif,nolink,70%);
#ref(tvdrk.eq34.gif,nolink,70%)
+&ref(tvdrk.eq31.gif,nolink,70%);から前進オイラー法で&ref...
#ref(tvdrk.eq36.gif,nolink,70%)
+最終的に，以下の凸結合により&ref(tvdrk.eq37.gif,nolink,7...
#ref(tvdrk.eq38.gif,nolink,70%)
***TVD RK4 [#f225c799]
&ref(tvdrk.eq39.gif,nolink,70%);で，
#ref(tvdrk.eq40.gif,nolink,70%)
各係数の導出は長くなりそうなので省略(¬e{Shu1988};参照}．
#ref(tvdrk.eq41.gif,nolink,70%)
***TVD,TVB [#b9389917]
TVD(Total-Variation Diminishing)¬e{Harten1983:A. Harte...
nステップ目でのTV(Total-Variation : 全変動)は以下のように...
#ref(tvdrk.eq42.gif,nolink,70%)
これを離散化すると，
#ref(tvdrk.eq43.gif,nolink,70%)
となる．そして，
#ref(tvdrk.eq44.gif,nolink,70%)
を満たすとき，TV安定であるといい，その数値計算手法はTVDと...
また，
#ref(tvdrk.eq45.gif,nolink,70%)
を満たすとき，TVB(Total-Variation Bounded)であるという．
ここで&ref(tvdrk.eq46.gif,nolink,70%);は&ref(tvdrk.eq47.g...
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