Lanczos双直交化
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開始行:
Lanczos法は対称行列に限定した，Krylov部分空間における正規...
これを非対称行列に対応させた拡張をLanczos双直交化(Lanczos...
非対応行列の正規直交基底を求めるのならばArnoldi法になるの...
そうではなく，双直交系(biorthogonal system)に基づく方法で...
ちなみに 双直交系とは，2つのベクトル空間のそれぞれの直交...
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq2.gif,nolink,70%);となるような...
Lanczos双直交化では，以下の2つのKrylov部分空間の正規直交...
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq4.gif,nolink,70%)
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq5.gif,nolink,70%)
双直交な&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq6.gif,nolink,70%);と&r...
Lanzcos法のアルゴリズムより，以下の3項漸化式(three-term r...
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq9.gif,nolink,70%)
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq10.gif,nolink,70%);についても...
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq11.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq12.gif,nolink,70%);で...
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq13.gif,nolink,70%);は&ref(ls_b...
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq15.gif,nolink,70%)
双直交化するために，&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq16.gif,nol...
つまり，
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq17.gif,nolink,70%)
となる．この条件を満たす限り，&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq...
ここでは，
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq18.gif,nolink,70%)
とする．また，この定義から以下も成り立つ．
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq19.gif,nolink,70%)
これらの式を用いたLanczos双直交化のアルゴリズムは以下とな...
>
任意のベクトル&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq20.gif,nolink,70...
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq22.gif,nolink,70%);を設定~
for(j = 1,2,...,m){~
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq23.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq24.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq25.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq26.gif,nolink,70%);~
if(&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq27.gif,nolink,70%);) 反...
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq28.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq29.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq30.gif,nolink,70%);~
}
得られた&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq31.gif,nolink,70%);か...
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq32.gif,nolink,70%)
を考える．双直交系なので，&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq33.g...
今，アルゴリズム中の&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq34.gif,nol...
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq35.gif,nolink,70%)
3項漸化式より，
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq36.gif,nolink,70%)
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq37.gif,nolink,70%);を使って，&...
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq39.gif,nolink,70%)
この式から，
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq40.gif,nolink,70%)
双直交性から&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq41.gif,nolink,70%)...
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq42.gif,nolink,70%)
終了行:
Lanczos法は対称行列に限定した，Krylov部分空間における正規...
これを非対称行列に対応させた拡張をLanczos双直交化(Lanczos...
非対応行列の正規直交基底を求めるのならばArnoldi法になるの...
そうではなく，双直交系(biorthogonal system)に基づく方法で...
ちなみに 双直交系とは，2つのベクトル空間のそれぞれの直交...
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq2.gif,nolink,70%);となるような...
Lanczos双直交化では，以下の2つのKrylov部分空間の正規直交...
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq4.gif,nolink,70%)
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq5.gif,nolink,70%)
双直交な&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq6.gif,nolink,70%);と&r...
Lanzcos法のアルゴリズムより，以下の3項漸化式(three-term r...
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq9.gif,nolink,70%)
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq10.gif,nolink,70%);についても...
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq11.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq12.gif,nolink,70%);で...
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq13.gif,nolink,70%);は&ref(ls_b...
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq15.gif,nolink,70%)
双直交化するために，&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq16.gif,nol...
つまり，
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq17.gif,nolink,70%)
となる．この条件を満たす限り，&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq...
ここでは，
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq18.gif,nolink,70%)
とする．また，この定義から以下も成り立つ．
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq19.gif,nolink,70%)
これらの式を用いたLanczos双直交化のアルゴリズムは以下とな...
>
任意のベクトル&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq20.gif,nolink,70...
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq22.gif,nolink,70%);を設定~
for(j = 1,2,...,m){~
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq23.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq24.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq25.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq26.gif,nolink,70%);~
if(&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq27.gif,nolink,70%);) 反...
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq28.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq29.gif,nolink,70%);~
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq30.gif,nolink,70%);~
}
得られた&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq31.gif,nolink,70%);か...
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq32.gif,nolink,70%)
を考える．双直交系なので，&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq33.g...
今，アルゴリズム中の&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq34.gif,nol...
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq35.gif,nolink,70%)
3項漸化式より，
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq36.gif,nolink,70%)
&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq37.gif,nolink,70%);を使って，&...
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq39.gif,nolink,70%)
この式から，
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq40.gif,nolink,70%)
双直交性から&ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq41.gif,nolink,70%)...
#ref(ls_bicg1_bi-lanczos.eq42.gif,nolink,70%)
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