Krylov部分空間
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開始行:
共役勾配法の計算手順において，残差&ref(ls_krylov.eq1.gif,...
この残差はどこから来たのかを考える．
まず，&ref(ls_krylov.eq2.gif,nolink,70%);は
#ref(ls_krylov.eq3.gif,nolink,70%)
とかける．これを反復式とすると，
#ref(ls_krylov.eq4.gif,nolink,70%)
これで残差ベクトルがでてきた．
さらに残差ベクトル間の関係を調べる．
#ref(ls_krylov.eq5.gif,nolink,70%)
よって，
#ref(ls_krylov.eq6.gif,nolink,70%)
同様に&ref(ls_krylov.eq7.gif,nolink,70%);に関しても，
#ref(ls_krylov.eq8.gif,nolink,70%)
これらの式から，&ref(ls_krylov.eq9.gif,nolink,70%);，&ref...
の線形結合で表されることがわかる．これを式にすると，
#ref(ls_krylov.eq12.gif,nolink,70%)
#ref(ls_krylov.eq13.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(ls_krylov.eq14.gif,nolink,70%);はベクトル&re...
上式のような部分空間をクリロフ部分空間と呼ぶ．
#ref(ls_krylov.eq16.gif,nolink,70%)
&ref(ls_krylov.eq17.gif,nolink,70%);の次元nは近似解を求め...
そして，クリロフ部分空間内の任意の点は&ref(ls_krylov.eq18...
ここで&ref(ls_krylov.eq19.gif,nolink,70%);は次元がm-1以下...
つまり，クリロフ部分空間内の点はAに関するm-1次以下の多項...
&ref(ls_krylov.eq21.gif,nolink,70%);からクリロフ部分空間&...
クリロフ部分空間法と呼ぶ．共役勾配法もクリロフ部分空間法...
(ヤコビ反復やガウス・ザイデルは定常な反復解法)．
クリロフ部分空間法としては他に，
-双共役勾配法(Bi-Conjugate Gradient method : BiCG法)
-安定化双共役勾配法(Bi-Conjugate Gradient STABilized meth...
-自乗共役勾配法(Conjugate Gradiate Squared method : CGS法)
-共役残差法(Conjugate Residual method : CR法)
-一般化共役残差法(Generalized Conjugate Residual method :...
-一般化最小残差法(Generalized Minimal RESidual method : G...
などが提案されている．
終了行:
共役勾配法の計算手順において，残差&ref(ls_krylov.eq1.gif,...
この残差はどこから来たのかを考える．
まず，&ref(ls_krylov.eq2.gif,nolink,70%);は
#ref(ls_krylov.eq3.gif,nolink,70%)
とかける．これを反復式とすると，
#ref(ls_krylov.eq4.gif,nolink,70%)
これで残差ベクトルがでてきた．
さらに残差ベクトル間の関係を調べる．
#ref(ls_krylov.eq5.gif,nolink,70%)
よって，
#ref(ls_krylov.eq6.gif,nolink,70%)
同様に&ref(ls_krylov.eq7.gif,nolink,70%);に関しても，
#ref(ls_krylov.eq8.gif,nolink,70%)
これらの式から，&ref(ls_krylov.eq9.gif,nolink,70%);，&ref...
の線形結合で表されることがわかる．これを式にすると，
#ref(ls_krylov.eq12.gif,nolink,70%)
#ref(ls_krylov.eq13.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(ls_krylov.eq14.gif,nolink,70%);はベクトル&re...
上式のような部分空間をクリロフ部分空間と呼ぶ．
#ref(ls_krylov.eq16.gif,nolink,70%)
&ref(ls_krylov.eq17.gif,nolink,70%);の次元nは近似解を求め...
そして，クリロフ部分空間内の任意の点は&ref(ls_krylov.eq18...
ここで&ref(ls_krylov.eq19.gif,nolink,70%);は次元がm-1以下...
つまり，クリロフ部分空間内の点はAに関するm-1次以下の多項...
&ref(ls_krylov.eq21.gif,nolink,70%);からクリロフ部分空間&...
クリロフ部分空間法と呼ぶ．共役勾配法もクリロフ部分空間法...
(ヤコビ反復やガウス・ザイデルは定常な反復解法)．
クリロフ部分空間法としては他に，
-双共役勾配法(Bi-Conjugate Gradient method : BiCG法)
-安定化双共役勾配法(Bi-Conjugate Gradient STABilized meth...
-自乗共役勾配法(Conjugate Gradiate Squared method : CGS法)
-共役残差法(Conjugate Residual method : CR法)
-一般化共役残差法(Generalized Conjugate Residual method :...
-一般化最小残差法(Generalized Minimal RESidual method : G...
などが提案されている．
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