連立1次方程式：正規方程式に対する共役勾配法
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開始行:
*CGNR [#c5e78cce]
共役勾配法では正定値対称行列のみを対象としているが，
非対称行列には対応できないのだろうか．
前処理のところで元の方程式と等価になるように係数行列を変...
同様にして非対称行列を対称行列にする前処理をすれば簡単に...
つまり，
#ref(ls_cgnr.eq1.gif,nolink,70%)
と変形すると，Aが非対称行列でも&ref(ls_cgnr.eq2.gif,nolin...
また，Aは正方行列でなくてもよく，&ref(ls_cgnr.eq3.gif,nol...
この式を方程式&ref(ls_cgnr.eq4.gif,nolink,70%);に当てはめ...
#ref(ls_cgnr.eq5.gif,nolink,70%)
となり，&ref(ls_cgnr.eq6.gif,nolink,70%);を最小化する問題...
これは最小自乗法となる．この方法は一般的に未知数の数より...
つまり，&ref(ls_cgnr.eq7.gif,nolink,70%);において，&ref(l...
このような問題はNR(Normal equations to minimize the Resid...
そのため，&ref(ls_cgnr.eq2.gif,nolink,70%);により対称行列...
*CGNE [#t7de65c3]
CGNRとは別の方法として，&ref(ls_cgnr.eq9.gif,nolink,70%);...
#ref(ls_cgnr.eq10.gif,nolink,70%)
を&ref(ls_cgnr.eq11.gif,nolink,70%);について共役勾配法で...
&ref(ls_cgnr.eq11.gif,nolink,70%);から&ref(ls_cgnr.eq12.g...
CGNR法と同様にして方程式に当てはめると，
#ref(ls_cgnr.eq13.gif,nolink,70%)
今，&ref(ls_cgnr.eq14.gif,nolink,70%);，つまり，方程式の...
解の一つを&ref(ls_cgnr.eq15.gif,nolink,70%);とすると，&re...
#ref(ls_cgnr.eq17.gif,nolink,70%)
となり，&ref(ls_cgnr.eq11.gif,nolink,70%);について&ref(ls...
この方法は&ref(ls_cgnr.eq14.gif,nolink,70%);であるunderde...
このような問題はNE(Normal equations to minimize the Error...
これを共役勾配法を使って解く方法はCGNE法と呼ばれる．
*CGNRとCGNEの収束性 [#d6ae8508]
CGNRやCGNEを使うことで共役勾配法を正規方程式に適用できる...
これらの方法は特に条件数が大きいときの収束性に問題を抱え...
&ref(ls_cgnr.eq19.gif,nolink,70%);の条件数が&ref(ls_cgnr....
#ref(ls_cgnr.eq21.gif,nolink,70%)
スペクトル半径&ref(ls_cgnr.eq22.gif,nolink,70%);と行列の2...
#ref(ls_cgnr.eq23.gif,nolink,70%)
を用いると，
#ref(ls_cgnr.eq24.gif,nolink,70%)
このように&ref(ls_cgnr.eq2.gif,nolink,70%);の条件数は&ref...
&ref(ls_cgnr.eq25.gif,nolink,70%);が大きいと収束性はさら...
一方で2乗ノルムの条件数が1に近い場合は，とてもよい解法で...
*参考文献 [#u89c91eb]
-Yousef Saad, Iterative methods for sparse linear systems...
終了行:
*CGNR [#c5e78cce]
共役勾配法では正定値対称行列のみを対象としているが，
非対称行列には対応できないのだろうか．
前処理のところで元の方程式と等価になるように係数行列を変...
同様にして非対称行列を対称行列にする前処理をすれば簡単に...
つまり，
#ref(ls_cgnr.eq1.gif,nolink,70%)
と変形すると，Aが非対称行列でも&ref(ls_cgnr.eq2.gif,nolin...
また，Aは正方行列でなくてもよく，&ref(ls_cgnr.eq3.gif,nol...
この式を方程式&ref(ls_cgnr.eq4.gif,nolink,70%);に当てはめ...
#ref(ls_cgnr.eq5.gif,nolink,70%)
となり，&ref(ls_cgnr.eq6.gif,nolink,70%);を最小化する問題...
これは最小自乗法となる．この方法は一般的に未知数の数より...
つまり，&ref(ls_cgnr.eq7.gif,nolink,70%);において，&ref(l...
このような問題はNR(Normal equations to minimize the Resid...
そのため，&ref(ls_cgnr.eq2.gif,nolink,70%);により対称行列...
*CGNE [#t7de65c3]
CGNRとは別の方法として，&ref(ls_cgnr.eq9.gif,nolink,70%);...
#ref(ls_cgnr.eq10.gif,nolink,70%)
を&ref(ls_cgnr.eq11.gif,nolink,70%);について共役勾配法で...
&ref(ls_cgnr.eq11.gif,nolink,70%);から&ref(ls_cgnr.eq12.g...
CGNR法と同様にして方程式に当てはめると，
#ref(ls_cgnr.eq13.gif,nolink,70%)
今，&ref(ls_cgnr.eq14.gif,nolink,70%);，つまり，方程式の...
解の一つを&ref(ls_cgnr.eq15.gif,nolink,70%);とすると，&re...
#ref(ls_cgnr.eq17.gif,nolink,70%)
となり，&ref(ls_cgnr.eq11.gif,nolink,70%);について&ref(ls...
この方法は&ref(ls_cgnr.eq14.gif,nolink,70%);であるunderde...
このような問題はNE(Normal equations to minimize the Error...
これを共役勾配法を使って解く方法はCGNE法と呼ばれる．
*CGNRとCGNEの収束性 [#d6ae8508]
CGNRやCGNEを使うことで共役勾配法を正規方程式に適用できる...
これらの方法は特に条件数が大きいときの収束性に問題を抱え...
&ref(ls_cgnr.eq19.gif,nolink,70%);の条件数が&ref(ls_cgnr....
#ref(ls_cgnr.eq21.gif,nolink,70%)
スペクトル半径&ref(ls_cgnr.eq22.gif,nolink,70%);と行列の2...
#ref(ls_cgnr.eq23.gif,nolink,70%)
を用いると，
#ref(ls_cgnr.eq24.gif,nolink,70%)
このように&ref(ls_cgnr.eq2.gif,nolink,70%);の条件数は&ref...
&ref(ls_cgnr.eq25.gif,nolink,70%);が大きいと収束性はさら...
一方で2乗ノルムの条件数が1に近い場合は，とてもよい解法で...
*参考文献 [#u89c91eb]
-Yousef Saad, Iterative methods for sparse linear systems...
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