グラム・シュミットの直交化法
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グラム・シュミットの直交化法について述べる前に，
線形代数の基礎として内積空間，線型独立と線型従属，直交基...
**内積空間 [#a2497d01]
2つの実ベクトル&ref(ls_gram-schmidt.eq1.gif,nolink,70%);...
#ref(ls_gram-schmidt.eq2.gif,nolink,70%)
の演算を内積(inner product)という．内積は&ref(ls_gram-sch...
内積の性質を以下に示す．
-&ref(ls_gram-schmidt.eq4.gif,nolink,70%);
-&ref(ls_gram-schmidt.eq5.gif,nolink,70%);
-&ref(ls_gram-schmidt.eq6.gif,nolink,70%);
-&ref(ls_gram-schmidt.eq7.gif,nolink,70%);
ここで，&ref(ls_gram-schmidt.eq8.gif,nolink,70%);である．
また，実行列&ref(ls_gram-schmidt.eq9.gif,nolink,70%);につ...
#ref(ls_gram-schmidt.eq10.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(ls_gram-schmidt.eq11.gif,nolink,70%);である．
この性質は&ref(ls_gram-schmidt.eq12.gif,nolink,70%);から...
実ベクトルだけでなく複素ベクトルに拡張する．
&ref(ls_gram-schmidt.eq13.gif,nolink,70%);に対して，
#ref(ls_gram-schmidt.eq14.gif,nolink,70%)
を内積という．&ref(ls_gram-schmidt.eq15.gif,nolink,70%);...
複素ベクトルの内積の性質を以下に示す．
-&ref(ls_gram-schmidt.eq19.gif,nolink,70%);
-&ref(ls_gram-schmidt.eq5.gif,nolink,70%);
-&ref(ls_gram-schmidt.eq6.gif,nolink,70%);
-&ref(ls_gram-schmidt.eq20.gif,nolink,70%);
ここで，&ref(ls_gram-schmidt.eq21.gif,nolink,70%);である．
また，複素行列&ref(ls_gram-schmidt.eq22.gif,nolink,70%);...
#ref(ls_gram-schmidt.eq23.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(ls_gram-schmidt.eq24.gif,nolink,70%);であり，
&ref(ls_gram-schmidt.eq25.gif,nolink,70%);は各要素の複素...
これらの内積が定義されたベクトル空間を内積空間(inner prod...
**線型独立と線型従属 [#a59ed623]
内積空間&ref(ls_gram-schmidt.eq27.gif,nolink,70%);内のベ...
#ref(ls_gram-schmidt.eq29.gif,nolink,70%)
をベクトル&ref(ls_gram-schmidt.eq30.gif,nolink,70%);の線...
ただし，&ref(ls_gram-schmidt.eq31.gif,nolink,70%);である．
線型結合が&ref(ls_gram-schmidt.eq32.gif,nolink,70%);とな...
#ref(ls_gram-schmidt.eq33.gif,nolink,70%)
を線型関係という．
線型関係となるのが，すべての係数&ref(ls_gram-schmidt.eq34...
ベクトル&ref(ls_gram-schmidt.eq36.gif,nolink,70%);は線型...
それに対して，&ref(ls_gram-schmidt.eq37.gif,nolink,70%);...
このような係数の組み合わせによる線型関係を非自明な線型関...
-例1~
方向が同じで，大きさが異なる2つのベクトル&ref(ls_gram-sch...
その関係は，
#ref(ls_gram-schmidt.eq39.gif,nolink,70%)
と表される．よって，
#ref(ls_gram-schmidt.eq40.gif,nolink,70%)
となり，係数&ref(ls_gram-schmidt.eq41.gif,nolink,70%);で...
非自明な線型関係が存在し，この2つのベクトルは線型従属であ...
-例2~
方向が異なる2つのベクトル&ref(ls_gram-schmidt.eq42.gif,no...
その線型結合は，
#ref(ls_gram-schmidt.eq43.gif,nolink,70%)
となる．これが非自明な線型関係をもつとすると，
#ref(ls_gram-schmidt.eq44.gif,nolink,70%)
となり，&ref(ls_gram-schmidt.eq45.gif,nolink,70%);と&ref(...
これは最初の仮定と矛盾する．
よって，&ref(ls_gram-schmidt.eq38.gif,nolink,70%);は線型...
**正規直交基底 [#cf0ec93e]
2つのベクトル&ref(ls_gram-schmidt.eq47.gif,nolink,70%);の...
&ref(ls_gram-schmidt.eq49.gif,nolink,70%);と表す．
そして，ベクトルの組&ref(ls_gram-schmidt.eq30.gif,nolink,...
これを直交系(orthogonal system)という．式で表すと以下とな...
#ref(ls_gram-schmidt.eq50.gif,nolink,70%)
また，&ref(ls_gram-schmidt.eq30.gif,nolink,70%);がすべて...
さて，体K上のベクトル空間Vのベクトル&ref(ls_gram-schmidt....
#ref(ls_gram-schmidt.eq51.gif,nolink,70%)
と表し，これをベクトル&ref(ls_gram-schmidt.eq52.gif,nolin...
(&ref(ls_gram-schmidt.eq53.gif,nolink,70%);と表される)．
ベクトル空間Vが線型独立なベクトル&ref(ls_gram-schmidt.eq3...
#ref(ls_gram-schmidt.eq54.gif,nolink,70%)
このとき，ベクトルの組&ref(ls_gram-schmidt.eq55.gif,nolin...
&ref(ls_gram-schmidt.eq52.gif,nolink,70%);がすべて単位ベ...
直交系のとき直交基底(orthogonal basis)，単位ベクトルでか...
正規直交基底(orthonormal basis)という．
また，基本ベクトルで構成される基底は標準基底(standard bas...
まとめると，
-正規基底：&ref(ls_gram-schmidt.eq56.gif,nolink,70%);
-直交基底：&ref(ls_gram-schmidt.eq57.gif,nolink,70%);
-正規直交基底：&ref(ls_gram-schmidt.eq58.gif,nolink,70%);
-標準基底：&ref(ls_gram-schmidt.eq59.gif,nolink,70%);
ここで，&ref(ls_gram-schmidt.eq60.gif,nolink,70%);はデル...
&ref(ls_gram-schmidt.eq63.gif,nolink,70%);は基本ベクトル...
**グラム・シュミットの直交化法 [#g267ac4a]
内積空間Vにおいて，ある基底を直交基底にすることを直交化(o...
正規直交基底にするときは正規直交化(orthonormalize)という．
基底&ref(ls_gram-schmidt.eq55.gif,nolink,70%);に対して，
以下の処理を行うことで，正規直交基底&ref(ls_gram-schmidt....
#ref(ls_gram-schmidt.eq65.gif,nolink,70%)
このアルゴリズムをグラム・シュミットの正規直交化法(Gram-S...
グラム・シュミットの直交化では，
+&ref(ls_gram-schmidt.eq66.gif,nolink,70%);はそのまま用いる
+&ref(ls_gram-schmidt.eq67.gif,nolink,70%);と&ref(ls_gram...
+&ref(ls_gram-schmidt.eq69.gif,nolink,70%);について，?と...
の処理をnまで進めることで直交なベクトル群を得ている．
この方法は1つの式で直接&ref(ls_gram-schmidt.eq71.gif,noli...
これを軽減するのが次の修正グラム・シュミット法である．
**修正グラム・シュミット法 [#m4969984]
グラム・シュミット法の手順をC言語のプログラム風に書くと，
>
for(i = 1,2,...,n){~
&ref(ls_gram-schmidt.eq72.gif,nolink,70%); ~
&ref(ls_gram-schmidt.eq73.gif,nolink,70%); ~
}
となる．
誤差の累積を軽減するために以下のように処理を修正する．
>
for(i = 1,2,...,n){~
for(j = 1,2,...,i-1){~
&ref(ls_gram-schmidt.eq74.gif,nolink,70%); ~
}~
&ref(ls_gram-schmidt.eq75.gif,nolink,70%); ~
}
例えば，i=3のとき，グラム・シュミット法では，
#ref(ls_gram-schmidt.eq76.gif,nolink,70%)
としていたのを，修正グラム・シュミットでは，
#ref(ls_gram-schmidt.eq77.gif,nolink,70%)
と逐次更新した&ref(ls_gram-schmidt.eq70.gif,nolink,70%);...
もともと&ref(ls_gram-schmidt.eq78.gif,nolink,70%);のはず...
本来上記二つの結果は変わらない．
ただしこれは&ref(ls_gram-schmidt.eq79.gif,nolink,70%);を...
例えば，もともと&ref(ls_gram-schmidt.eq66.gif,nolink,70%)...
&ref(ls_gram-schmidt.eq80.gif,nolink,70%);が&ref(ls_gram-...
修正グラム・シュミットを使った場合，少なくとも&ref(ls_gra...
終了行:
グラム・シュミットの直交化法について述べる前に，
線形代数の基礎として内積空間，線型独立と線型従属，直交基...
**内積空間 [#a2497d01]
2つの実ベクトル&ref(ls_gram-schmidt.eq1.gif,nolink,70%);...
#ref(ls_gram-schmidt.eq2.gif,nolink,70%)
の演算を内積(inner product)という．内積は&ref(ls_gram-sch...
内積の性質を以下に示す．
-&ref(ls_gram-schmidt.eq4.gif,nolink,70%);
-&ref(ls_gram-schmidt.eq5.gif,nolink,70%);
-&ref(ls_gram-schmidt.eq6.gif,nolink,70%);
-&ref(ls_gram-schmidt.eq7.gif,nolink,70%);
ここで，&ref(ls_gram-schmidt.eq8.gif,nolink,70%);である．
また，実行列&ref(ls_gram-schmidt.eq9.gif,nolink,70%);につ...
#ref(ls_gram-schmidt.eq10.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(ls_gram-schmidt.eq11.gif,nolink,70%);である．
この性質は&ref(ls_gram-schmidt.eq12.gif,nolink,70%);から...
実ベクトルだけでなく複素ベクトルに拡張する．
&ref(ls_gram-schmidt.eq13.gif,nolink,70%);に対して，
#ref(ls_gram-schmidt.eq14.gif,nolink,70%)
を内積という．&ref(ls_gram-schmidt.eq15.gif,nolink,70%);...
複素ベクトルの内積の性質を以下に示す．
-&ref(ls_gram-schmidt.eq19.gif,nolink,70%);
-&ref(ls_gram-schmidt.eq5.gif,nolink,70%);
-&ref(ls_gram-schmidt.eq6.gif,nolink,70%);
-&ref(ls_gram-schmidt.eq20.gif,nolink,70%);
ここで，&ref(ls_gram-schmidt.eq21.gif,nolink,70%);である．
また，複素行列&ref(ls_gram-schmidt.eq22.gif,nolink,70%);...
#ref(ls_gram-schmidt.eq23.gif,nolink,70%)
ここで，&ref(ls_gram-schmidt.eq24.gif,nolink,70%);であり，
&ref(ls_gram-schmidt.eq25.gif,nolink,70%);は各要素の複素...
これらの内積が定義されたベクトル空間を内積空間(inner prod...
**線型独立と線型従属 [#a59ed623]
内積空間&ref(ls_gram-schmidt.eq27.gif,nolink,70%);内のベ...
#ref(ls_gram-schmidt.eq29.gif,nolink,70%)
をベクトル&ref(ls_gram-schmidt.eq30.gif,nolink,70%);の線...
ただし，&ref(ls_gram-schmidt.eq31.gif,nolink,70%);である．
線型結合が&ref(ls_gram-schmidt.eq32.gif,nolink,70%);とな...
#ref(ls_gram-schmidt.eq33.gif,nolink,70%)
を線型関係という．
線型関係となるのが，すべての係数&ref(ls_gram-schmidt.eq34...
ベクトル&ref(ls_gram-schmidt.eq36.gif,nolink,70%);は線型...
それに対して，&ref(ls_gram-schmidt.eq37.gif,nolink,70%);...
このような係数の組み合わせによる線型関係を非自明な線型関...
-例1~
方向が同じで，大きさが異なる2つのベクトル&ref(ls_gram-sch...
その関係は，
#ref(ls_gram-schmidt.eq39.gif,nolink,70%)
と表される．よって，
#ref(ls_gram-schmidt.eq40.gif,nolink,70%)
となり，係数&ref(ls_gram-schmidt.eq41.gif,nolink,70%);で...
非自明な線型関係が存在し，この2つのベクトルは線型従属であ...
-例2~
方向が異なる2つのベクトル&ref(ls_gram-schmidt.eq42.gif,no...
その線型結合は，
#ref(ls_gram-schmidt.eq43.gif,nolink,70%)
となる．これが非自明な線型関係をもつとすると，
#ref(ls_gram-schmidt.eq44.gif,nolink,70%)
となり，&ref(ls_gram-schmidt.eq45.gif,nolink,70%);と&ref(...
これは最初の仮定と矛盾する．
よって，&ref(ls_gram-schmidt.eq38.gif,nolink,70%);は線型...
**正規直交基底 [#cf0ec93e]
2つのベクトル&ref(ls_gram-schmidt.eq47.gif,nolink,70%);の...
&ref(ls_gram-schmidt.eq49.gif,nolink,70%);と表す．
そして，ベクトルの組&ref(ls_gram-schmidt.eq30.gif,nolink,...
これを直交系(orthogonal system)という．式で表すと以下とな...
#ref(ls_gram-schmidt.eq50.gif,nolink,70%)
また，&ref(ls_gram-schmidt.eq30.gif,nolink,70%);がすべて...
さて，体K上のベクトル空間Vのベクトル&ref(ls_gram-schmidt....
#ref(ls_gram-schmidt.eq51.gif,nolink,70%)
と表し，これをベクトル&ref(ls_gram-schmidt.eq52.gif,nolin...
(&ref(ls_gram-schmidt.eq53.gif,nolink,70%);と表される)．
ベクトル空間Vが線型独立なベクトル&ref(ls_gram-schmidt.eq3...
#ref(ls_gram-schmidt.eq54.gif,nolink,70%)
このとき，ベクトルの組&ref(ls_gram-schmidt.eq55.gif,nolin...
&ref(ls_gram-schmidt.eq52.gif,nolink,70%);がすべて単位ベ...
直交系のとき直交基底(orthogonal basis)，単位ベクトルでか...
正規直交基底(orthonormal basis)という．
また，基本ベクトルで構成される基底は標準基底(standard bas...
まとめると，
-正規基底：&ref(ls_gram-schmidt.eq56.gif,nolink,70%);
-直交基底：&ref(ls_gram-schmidt.eq57.gif,nolink,70%);
-正規直交基底：&ref(ls_gram-schmidt.eq58.gif,nolink,70%);
-標準基底：&ref(ls_gram-schmidt.eq59.gif,nolink,70%);
ここで，&ref(ls_gram-schmidt.eq60.gif,nolink,70%);はデル...
&ref(ls_gram-schmidt.eq63.gif,nolink,70%);は基本ベクトル...
**グラム・シュミットの直交化法 [#g267ac4a]
内積空間Vにおいて，ある基底を直交基底にすることを直交化(o...
正規直交基底にするときは正規直交化(orthonormalize)という．
基底&ref(ls_gram-schmidt.eq55.gif,nolink,70%);に対して，
以下の処理を行うことで，正規直交基底&ref(ls_gram-schmidt....
#ref(ls_gram-schmidt.eq65.gif,nolink,70%)
このアルゴリズムをグラム・シュミットの正規直交化法(Gram-S...
グラム・シュミットの直交化では，
+&ref(ls_gram-schmidt.eq66.gif,nolink,70%);はそのまま用いる
+&ref(ls_gram-schmidt.eq67.gif,nolink,70%);と&ref(ls_gram...
+&ref(ls_gram-schmidt.eq69.gif,nolink,70%);について，?と...
の処理をnまで進めることで直交なベクトル群を得ている．
この方法は1つの式で直接&ref(ls_gram-schmidt.eq71.gif,noli...
これを軽減するのが次の修正グラム・シュミット法である．
**修正グラム・シュミット法 [#m4969984]
グラム・シュミット法の手順をC言語のプログラム風に書くと，
>
for(i = 1,2,...,n){~
&ref(ls_gram-schmidt.eq72.gif,nolink,70%); ~
&ref(ls_gram-schmidt.eq73.gif,nolink,70%); ~
}
となる．
誤差の累積を軽減するために以下のように処理を修正する．
>
for(i = 1,2,...,n){~
for(j = 1,2,...,i-1){~
&ref(ls_gram-schmidt.eq74.gif,nolink,70%); ~
}~
&ref(ls_gram-schmidt.eq75.gif,nolink,70%); ~
}
例えば，i=3のとき，グラム・シュミット法では，
#ref(ls_gram-schmidt.eq76.gif,nolink,70%)
としていたのを，修正グラム・シュミットでは，
#ref(ls_gram-schmidt.eq77.gif,nolink,70%)
と逐次更新した&ref(ls_gram-schmidt.eq70.gif,nolink,70%);...
もともと&ref(ls_gram-schmidt.eq78.gif,nolink,70%);のはず...
本来上記二つの結果は変わらない．
ただしこれは&ref(ls_gram-schmidt.eq79.gif,nolink,70%);を...
例えば，もともと&ref(ls_gram-schmidt.eq66.gif,nolink,70%)...
&ref(ls_gram-schmidt.eq80.gif,nolink,70%);が&ref(ls_gram-...
修正グラム・シュミットを使った場合，少なくとも&ref(ls_gra...
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