ガウス・ザイデル反復法
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開始行:
ヤコビ反復法では&ref(ls_gauss_seidel.eq1.gif,nolink,70%);...
しかし，&ref(ls_gauss_seidel.eq4.gif,nolink,70%);と順番に...
&ref(ls_gauss_seidel.eq5.gif,nolink,70%);を求めるときには...
&ref(ls_gauss_seidel.eq7.gif,nolink,70%);を求めるときには...
これら最新の値を使うのがガウス・ザイデル反復法(Gauss-Seid...
たとえば，3元連立1次方程式の場合，反復式は以下となる．
#ref(ls_gauss_seidel.eq9.gif,nolink,70%)
収束判定条件はヤコビ法と同じであり，
収束するための係数行列の条件も同じである．
ただし，収束までの反復回数はヤコビ法よりも少なくすむ．
***ガウス・ザイデル反復法の実装 [#nb3a7cf8]
ヤコビ反復法では&ref(ls_gauss_seidel.eq10.gif,nolink,70%)...
ガウス・ザイデル法では常に最新の値を用いるため配列は1つで...
ガウス・ザイデル反復法をC++で実装した例を以下に示す．
#code(C){{
/*!
* ガウス-ザイデル反復法(Gauss Seidel iterative method)
* - 解が収束するのは
* ・対角有利(diagonal dominant, 対角要素の絶対値>そ...
* ・係数行列が対称(symmetric)かつ正定(positive defi...
* ・Σ_j |a_ij/a_ii| < 1 (i = 1〜n, j != i)
* @param[inout] A n×nの係数行列とn×1の定数項(b)を併せたn...
* @param[in] n n元連立一次方程式
* @param[inout] max_iter 最大反復数(反復終了後,実際の反...
* @param[inout] eps 許容誤差(反復終了後,実際の誤差を返す)
* @return 1:成功,0:失敗
*/
int GaussSeidel(vector< vector<double> > &A, int n, int &...
{
vector<double> x(n, 0.0); // 初期値はすべて0とする
double tmp;
double e = 0.0;
int k;
for(k = 0; k < max_iter; ++k){
// 現在の値を代入して，次の解候補を計算
e = 0.0;
for(int i = 0; i < n; ++i){
tmp = x[i];
x[i] = A[i][n];
for(int j = 0; j < n; ++j){
x[i] -= (j != i ? A[i][j]*x[j] : 0.0);
}
x[i] /= A[i][i];
e += fabs(tmp-x[i]); // 絶対誤差の場合
//e += fabs((tmp-x[i])/tmp); // 相対誤差の場合
}
// 収束判定
if(e <= eps){
break;
}
}
max_iter = k;
eps = e;
for(int i = 0; i < n; ++i){
A[i][n] = x[i];
}
return 1;
}
}}
終了行:
ヤコビ反復法では&ref(ls_gauss_seidel.eq1.gif,nolink,70%);...
しかし，&ref(ls_gauss_seidel.eq4.gif,nolink,70%);と順番に...
&ref(ls_gauss_seidel.eq5.gif,nolink,70%);を求めるときには...
&ref(ls_gauss_seidel.eq7.gif,nolink,70%);を求めるときには...
これら最新の値を使うのがガウス・ザイデル反復法(Gauss-Seid...
たとえば，3元連立1次方程式の場合，反復式は以下となる．
#ref(ls_gauss_seidel.eq9.gif,nolink,70%)
収束判定条件はヤコビ法と同じであり，
収束するための係数行列の条件も同じである．
ただし，収束までの反復回数はヤコビ法よりも少なくすむ．
***ガウス・ザイデル反復法の実装 [#nb3a7cf8]
ヤコビ反復法では&ref(ls_gauss_seidel.eq10.gif,nolink,70%)...
ガウス・ザイデル法では常に最新の値を用いるため配列は1つで...
ガウス・ザイデル反復法をC++で実装した例を以下に示す．
#code(C){{
/*!
* ガウス-ザイデル反復法(Gauss Seidel iterative method)
* - 解が収束するのは
* ・対角有利(diagonal dominant, 対角要素の絶対値>そ...
* ・係数行列が対称(symmetric)かつ正定(positive defi...
* ・Σ_j |a_ij/a_ii| < 1 (i = 1〜n, j != i)
* @param[inout] A n×nの係数行列とn×1の定数項(b)を併せたn...
* @param[in] n n元連立一次方程式
* @param[inout] max_iter 最大反復数(反復終了後,実際の反...
* @param[inout] eps 許容誤差(反復終了後,実際の誤差を返す)
* @return 1:成功,0:失敗
*/
int GaussSeidel(vector< vector<double> > &A, int n, int &...
{
vector<double> x(n, 0.0); // 初期値はすべて0とする
double tmp;
double e = 0.0;
int k;
for(k = 0; k < max_iter; ++k){
// 現在の値を代入して，次の解候補を計算
e = 0.0;
for(int i = 0; i < n; ++i){
tmp = x[i];
x[i] = A[i][n];
for(int j = 0; j < n; ++j){
x[i] -= (j != i ? A[i][j]*x[j] : 0.0);
}
x[i] /= A[i][i];
e += fabs(tmp-x[i]); // 絶対誤差の場合
//e += fabs((tmp-x[i])/tmp); // 相対誤差の場合
}
// 収束判定
if(e <= eps){
break;
}
}
max_iter = k;
eps = e;
for(int i = 0; i < n; ++i){
A[i][n] = x[i];
}
return 1;
}
}}
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