&ref(ls_matrix.eq1.gif,nolink,70%);元連立1次方程式は&ref(ls_matrix.eq2.gif,nolink,70%);の行列を使って以下のように表される．

#ref(ls_matrix.eq3.gif,nolink,70%)


ここで，&ref(ls_matrix.eq4.gif,nolink,70%);は係数項，&ref(ls_matrix.eq5.gif,nolink,70%);は定数項である．
ベクトル表記で表すと，

#ref(ls_matrix.eq6.gif,nolink,70%)


となる．

連立1次方程式はクラメルの公式(Cramer's fomula)で理論的に解くことができる．
&ref(ls_matrix.eq7.gif,nolink,70%);に逆行列が存在するならば，上記の式は，

#ref(ls_matrix.eq8.gif,nolink,70%)


と解くことができる．
逆行列&ref(ls_matrix.eq9.gif,nolink,70%);は余因子行列&ref(ls_matrix.eq10.gif,nolink,70%);を用いると，

#ref(ls_matrix.eq11.gif,nolink,70%)


ここで&ref(ls_matrix.eq12.gif,nolink,70%);は&ref(ls_matrix.eq7.gif,nolink,70%);の行列式(determinant)であり，&ref(ls_matrix.eq13.gif,nolink,70%);でなければならない．
また，余因子行列&ref(ls_matrix.eq10.gif,nolink,70%);は，

#ref(ls_matrix.eq14.gif,nolink,70%)


の要素で構成される．ここで，&ref(ls_matrix.eq15.gif,nolink,70%);は&ref(ls_matrix.eq7.gif,nolink,70%);の&ref(ls_matrix.eq16.gif,nolink,70%);行&ref(ls_matrix.eq17.gif,nolink,70%);列を除いた&ref(ls_matrix.eq18.gif,nolink,70%); の行列の行列式である．

この余因子行列を使った逆行列の式を代入する．

#ref(ls_matrix.eq19.gif,nolink,70%)

よって，

#ref(ls_matrix.eq20.gif,nolink,70%)


により各未知数&ref(ls_matrix.eq21.gif,nolink,70%);を求めることができる．
さらに，右辺の&ref(ls_matrix.eq22.gif,nolink,70%);の項は&ref(ls_matrix.eq7.gif,nolink,70%);の&ref(ls_matrix.eq17.gif,nolink,70%);列目を\V{b}で置き換えた行列の行列式に等しいことから，

#ref(ls_matrix.eq23.gif,nolink,70%)


となる．これがクラメルの公式である．

クラメルの公式を用いた際の演算回数は&ref(ls_matrix.eq24.gif,nolink,70%);となり，非常に大きい．
行列のサイズが小さい時やこれから述べる数値解法で得られた解をチェックする際には有用であるが，
行列のサイズが非常に大きくなりがちな実際の問題に当てはめるのは難しい．
そこで数値解法により近似的に解く方法を説明する．
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