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ENOを改良して，重み付き平均をとることで5次精度を実現したのがWENOである． 3次精度のENOでは&ref(eqa_phix-i.gif,,70%);について， &ref(eqa_weno1.gif,,70%);の6つの内，4つの値を用いて補間を行う． 3次精度のENOでは&ref(eqa_phix-i.gif,nolink,70%);について， &ref(eqa_weno1.gif,nolink,70%);の6つの内，4つの値を用いて補間を行う． そして，その組み合わせは3パターン (&ref(eqa_weno2.gif,,70%);と&ref(eqa_weno3.gif,,70%);と&ref(eqa_weno4.gif,,70%);)である． 実際に展開してみと以下となる(&ref(eqa_phix-.gif,,70%);では，k=i-1)． (&ref(eqa_weno2.gif,nolink,70%);と&ref(eqa_weno3.gif,nolink,70%);と&ref(eqa_weno4.gif,nolink,70%);)である． 実際に展開してみと以下となる(&ref(eqa_phix-.gif,nolink,70%);では，k=i-1)． #ref(eqa_weno5.gif,,70%) #ref(eqa_weno5.gif,nolink,70%) 1+2+4, 1+2+5, 1+3+6, 1+3+7の4パターンになるが， 以下に示すように1+2+5と1+3+6が同じなので，組み合わせは3パターンになる． それぞれさらに展開してφiの式にする． #ref(eqa_weno6.gif,,70%) #ref(eqa_weno6.gif,nolink,70%) 差分を&ref(eqa_weno7.gif,,70%);と表記すると上記3パターンは， 差分を&ref(eqa_weno7.gif,nolink,70%);と表記すると上記3パターンは， #ref(eqa_weno8.gif,,70%) #ref(eqa_weno8.gif,nolink,70%) ENO近似は結局この3つのパターンに集約される． これらの内どれかが状況に応じて用いられる． WENO(Weighted ENO)はその名の通り，これら3つの凸結合 ((凸結合とは一次結合&ref(eqa_weno9.gif,,70%);でアフィン結合(&ref(eqa_weno10.gif,,70%);)，かつ，&ref(eqa_weno11.gif,,70%);)) で&ref(eqa_phix.gif,,70%);を近似する ((凸結合とは一次結合&ref(eqa_weno9.gif,nolink,70%);でアフィン結合(&ref(eqa_weno10.gif,nolink,70%);)，かつ，&ref(eqa_weno11.gif,nolink,70%);)) で&ref(eqa_phix.gif,nolink,70%);を近似する ((X. D. Liu, S. Osher, and T. Chan, "Weighted essentially non-oscillatory schemes", J. Comput. Phys. 115(1), pp. 200-212, 1994.))． つまり， #ref(eqa_weno12.gif,,70%) ここで，&ref(eqa_weno13.gif,,70%);． #ref(eqa_weno12.gif,nolink,70%) ここで，&ref(eqa_weno13.gif,nolink,70%);． 問題となるのは&ref(eqa_weno14.gif,,70%);の選択である． 関数が滑らかならば，&ref(eqa_weno15.gif,,70%);で5次精度が得られる 問題となるのは&ref(eqa_weno14.gif,nolink,70%);の選択である． 関数が滑らかならば，&ref(eqa_weno15.gif,nolink,70%);で5次精度が得られる ((G. Jiang and C.-W. Shu, "Efficient implementation of weighted ENO schemes", J. Comput. Phys. 126, pp.202-228, 1996.))． ただし，矩形波のように滑らかでない関数だととたんに不安定になる． ((G. Jiang and D. Peng, "Weighted ENO Schemes for Hamilton Jacobi Equations", SIAM J. Sci. Comput. 21, pp.2126-2143, 2000.))では滑らかでない関数でも安定な重みの計算法を提案している．その方法を以下に示す． &ref(eqa_phix.gif,,70%);の滑らかさ(smoothness)を以下のように定義する． #ref(eqa_weno16.gif,,70%) 先ほどの重みの組み合わせ(&ref(eqa_weno17.gif,,70%);)をsmoothnessの2乗で割ることで重みを得る． #ref(eqa_weno18.gif,,70%) &ref(eqa_phix.gif,nolink,70%);の滑らかさ(smoothness)を以下のように定義する． #ref(eqa_weno16.gif,nolink,70%) 先ほどの重みの組み合わせ(&ref(eqa_weno17.gif,nolink,70%);)をsmoothnessの2乗で割ることで重みを得る． #ref(eqa_weno18.gif,nolink,70%) ここで， #ref(eqa_weno19.gif,,70%) &ref(eqa_weno20.gif,,70%);はゼロ割を防ぐための項である． &ref(eqa_weno21.gif,,70%);は&ref(eqa_phi.gif,,70%);が符号付距離場であることが前提で設定されている． つまり，&ref(eqa_phix.gif,,70%);がほぼ1であり，&ref(eqa_weno22.gif,,70%);の場合である． 最終的に&ref(eqa_weno23.gif,,70%);を満たすために，正規化を行う． #ref(eqa_weno24.gif,,70%) #ref(eqa_weno19.gif,nolink,70%) &ref(eqa_weno20.gif,nolink,70%);はゼロ割を防ぐための項である． &ref(eqa_weno21.gif,nolink,70%);は&ref(eqa_phi.gif,nolink,70%);が符号付距離場であることが前提で設定されている． つまり，&ref(eqa_phix.gif,nolink,70%);がほぼ1であり，&ref(eqa_weno22.gif,nolink,70%);の場合である． 最終的に&ref(eqa_weno23.gif,nolink,70%);を満たすために，正規化を行う． #ref(eqa_weno24.gif,nolink,70%) これらから， #ref(eqa_weno25.gif,,70%) により&ref(eqa_phi.gif,,70%);を更新することで5次精度の結果が得られる． #ref(eqa_weno25.gif,nolink,70%) により&ref(eqa_phi.gif,nolink,70%);を更新することで5次精度の結果が得られる．
