Projection法の変更点

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線形システム(Aは&ref(ls_arnoldi2_projection.eq1.gif,nolink,70%);)
#ref(ls_arnoldi2_projection.eq2.gif,nolink,70%)

の&ref(ls_arnoldi2_projection.eq3.gif,nolink,70%);ステップ目の近似解&ref(ls_arnoldi2_projection.eq4.gif,nolink,70%);を初期値&ref(ls_arnoldi2_projection.eq5.gif,nolink,70%);から求める．
いま，2つの部分空間&ref(ls_arnoldi2_projection.eq6.gif,nolink,70%);を考える．
そして，
-&ref(ls_arnoldi2_projection.eq7.gif,nolink,70%);
-&ref(ls_arnoldi2_projection.eq8.gif,nolink,70%);

として，解を探索するのがProjection法である．
Kは解候補が含まれるsearch subspaceで，
Lは近似解を得るための制約空間(subspace of constraints)である．
Projection法では残差ベクトル&ref(ls_arnoldi2_projection.eq9.gif,nolink,70%);がLに対して垂直になるようにする．
この条件をPetrov-Galerkin conditionという．

ここで，&ref(ls_arnoldi2_projection.eq10.gif,nolink,70%);とすると，
#ref(ls_arnoldi2_projection.eq11.gif,nolink,70%)

よって，
#ref(ls_arnoldi2_projection.eq12.gif,nolink,70%)

2つめの条件により，&ref(ls_arnoldi2_projection.eq13.gif,nolink,70%);はLに垂直なベクトルとなる．
これが基本的なProjection法のステップである．
また，K,Lはステップごとに適切なものを選ぶ必要がある．


**Krylov部分空間によるProjection法 [#s8d62a9c]
共役勾配法を代表的なものとして，多くの方法が
Projection法において，K,LにKrylov部分空間を用いたものになっている．
Krylov部分空間を&ref(ls_arnoldi2_projection.eq14.gif,nolink,70%);とすると，
これらの方法は大まかに以下のように分類される．

-&ref(ls_arnoldi2_projection.eq15.gif,nolink,70%); : FOMなど
-&ref(ls_arnoldi2_projection.eq16.gif,nolink,70%); : Lanczos, BiCG, CGS, QMRなど
-&ref(ls_arnoldi2_projection.eq17.gif,nolink,70%); : GMRESなど

Projection法 の変更点